ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1.000.000.000 ΚΑΙ ΑΝΩ

Μπορούμε να γράψουμε έναν πολύ μεγάλο αριθμό με διαφορετικούς τρόπους:

• Με λέξεις: π. χ. ένα δισεκατομμύριο εκατόν πενήντα έξι εκατομμύρια
• Με ψηφία: π. χ. 1.156.000.000
• Με ψηφία και με λέξεις: π. χ. 1 δισ. 156 εκατ.
• Με δεκαδικούς: π. χ. 1,156 δισ.

Μπορούμε να ελέγξουμε τη γραφή ενός μεγάλου αριθμού χρησιμοποιώντας τον άβακα όπου φαίνονται εύκολα οι αξίες των αριθμών ανάλογα με την θέση τους. Μάλιστα έτσι μπορούμε να τους συγκρίνουμε και εύκολα, ξεκινώντας από τα αριστερά των αριθμών και κοιτώντας ψηφίο - ψηφίο.

Παρατήρησε προσεκτικά τις παρακάτω εικόνες. Τους αριθμούς απόστασης των πλανητών από τον ήλιο, διέταξε τους σε αύξουσα σειρά. Στη συνέχεια κάνε το ίδιο και για την απόστασή τους από τη γη.

Ο ΚΥΚΛΟΣ

Κύκλος λέγεται μια κλειστή καμπύλη γραμμή, όλα τα σημεία της οποίας ισαπέχουν εξίσου από ένα σημείο (0) που βρίσκεται στο εσωτερικό της (κέντρο κύκλου).

Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα (ΟΑ ή ΟΒ ή ΟΓ) που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του κύκλου

Διάμετρος λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΓ), που ενώνει δυο σημεία του κύκλου και περνά από το κέντρο του(0)

Ο κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και διαμέτρους.

Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες και οι διάμετροι είναι ίσοι μεταξύ τους.

Η διάμετρος είναι πάντα το διπλάσιο της ακτίνας.

Δηλ. δ = 2 . α ή α = δ : 2

Για να βρούμε το μήκος κύκλου(κ) πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρο (δ) επί 3,14 (είναι το πηλίκο που βγάζουμε πάντα, αν διαιρέσουμε το μήκος του με τη διάμετρο σε κάθε κύκλο)

Δηλ. κ = δ . 3,14

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ-ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ

Η μέτρηση του χρόνου είναι σχετική με την περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της(ημερονύκτιο) και την περιστροφή της γύρω από τον ήλιο(έτος).

Τα μικρά χρονικά διαστήματα τα χωρίζουμε σε ώρα(ώρ), λεπτό(λ.) και δευτερόλεπτο(δ.)

Έχουμε: 1 ώρ. = 60 λ. και 1 λ. = 60 δ. και όμοια 1λ. = 1/60 ώρ. και 1 δ. = 1/60 λ.

Τα μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα τα μετράμε με την ημέρα ( = 24 ώρ.) και τα πολλαπλάσιά της:

την εβδομάδα(= 7 ημέρες), το μήνα(= 30 ημέρες) και το έτος(= 12 μήνες ή 360 ημέρες)

Για ακόμα μεγαλύτερες χρονικές περιόδους έχουμε τον αιώνα(= 100 έτη) και τη χιλιετία(= 1000 έτη)

Τις ώρες μπορούμε να τις εκφράσουμε με 12ωρο ή 24ωρο τρόπο. Όταν κάνουμε πράξεις ανάμεσα σε ώρες τις εκφράζουμε με 24ωρο τρόπο.

Οι ώρες και οι ημερομηνίες είναι συμμιγείς αριθμοί. Π. χ.

9:25 = 9 ώρες και 25 λεπτά

28 Οκτωβρίου 1940 = 1940 έτη 10 μήνες 28 ημέρες

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΣΥΜΜΙΓΕΙΣ

Συμμιγείς λέγονται οι αριθμοί οι οποίοι αποτελούνται από ακέραιους αριθμούς που δηλώνουν μονάδες διαφορετικής τάξης:

Για παράδειγμα ο αριθμός: 3 ώρες 15 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα είναι ένας συμμιγής αριθμός

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός αυτός αποτελείται από τα ανεξάρτητα τμήματα διαφορετικής ονομασίας, όπως των ωρών, των λεπτών και των δευτερολέπτων, τα λεπτά, όμως, αποτελούν υποδιαίρεση της ώρας και τα δευτερόλεπτα της ώρας και των λεπτών

Στη σημερινή εποχή με την επικράτηση του δεκαδικού συστήματος οι συμμιγείς αριθμοί τείνουν να καταργηθούν, διατηρούμενοι σε ελάχιστες ίσως περιπτώσεις, όπως αυτές του χρόνου και της ώρας.

Πώς κάνουμε πρόσθεση

Γράφουμε τον ένα συμμιγή κάτω από τον άλλο έτσι ώστε οι μονάδες κάθε τάξης να είναι κάτω από τις μονάδες της ίδιας τάξης. Προσθέτουμε χωριστά τους αριθμούς κάθε τάξης, αρχίζοντας από δεξιά (δηλαδή από τις μονάδες της μικρότερης τάξης)Παρατηρούμε προσεκτικά καθένα από τα αθροίσματα που βρήκαμε. Αν κάποιο από αυτά περιέχει μονάδες ανώτερης τάξης, τότε τις βγάζουμε και τις προσθέτουμε στην αμέσως ανώτερη τάξη.

Παράδειγμα:

2 κιλ. 750 γραμμ.

1 κιλ. 500 γραμμ.

+-------------------------

3 κιλ. 1250 γραμμ.

4 κιλ. 250 γραμμ.

Πώς κάνουμε αφαίρεση

Γράφουμε το μειωτέο επάνω και τον αφαιρετέο κάτω φροντίζοντας ώστε οι μονάδες κάθε τάξης να είναι κάτω από τις μονάδες της ίδιας τάξης. Συγκρίνουμε της μονάδες κάθε τάξης του μειωτέου με τις αντίστοιχες μονάδες του αφαιρετέου. Αν σε κάθε τάξη οι μονάδες του μειωτέου είναι περισσότερες από εκείνες του αφαιρετέου τότε κάνουμε αφαιρέσεις σε κάθε τάξη χωριστά αρχίζοντας από δεξιά. Αν σε κάποια τάξη οι μονάδες του μειωτέου είναι λιγότερες από εκείνες του αφαιρετέου τότε δανειζόμαστε μια μονάδα από την αμέσως μεγαλύτερη τάξη. Έπειτα μετατρέπουμε τη μονάδα σε μονάδες της μικρότερης τάξης και τις προσθέτουμε στις μονάδες που είχε αρχικά η αντίστοιχη τάξη του μειωτέου. Τέλος κάνουμε αφαιρέσεις σε κάθε τάξη χωριστά.

Παράδειγμα:

(7 ωρ. 75 λ.)

8 ώρ. 15 λ.

3 ωρ. 30 λ

- --------------

4 ωρ. 45 λ.

Κάνε εξάσκηση στους συμμιγείς ΚΛΙΚ

ΣΜΙΚΡΥΝΣΗ - ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ

Όταν μεταφέρουμε ένα σχήμα σε ένα χαρτί και διατηρούμε τις πραγματικές του διαστάσεις, τότε λέμε ότι έχουμε αναπαραγωγή του σχήματος. Όταν το σχεδιάζουμε μεγαλύτερο λέμε ότι έχουμε μεγέθυνση και όταν το σχεδιάζουμε μικρότερο από ότι είναι, σμίκρυνση.

Για να μεγεθύνουμε ή να μικρύνουμε ένα σχήμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και πλέγμα με ίδια τετραγωνάκια(με το πρωτότυπο), αρκεί να διατηρήσουμε τη σχέση που θέλουμε να έχει το σχέδιό μας με το πραγματικό σχήμα(σωστή δηλ. αναλογία) Τη σχέση αυτή την εκφράζει η κλίμακα.

Κλίμακα δηλαδή ονομάζουμε το πηλίκο που δηλώνει τη σχέση της απόστασης στο σχέδιο προς την πραγματική απόσταση. Ή αλλιώς:

Κλίμακα = απόσταση στο σχέδιο/πραγματική απόσταση

Η κλίμακα μας δείχνει πόσες φορές μικρότερο ή μεγαλύτερο είναι το μέγεθος ενός σχήματος ή μιας εικόνας από το πραγματικό. Δηλ. όταν λέμε κλίμακα 1/2 ή 1:2 σημαίνει πως το σχέδιο μας είναι 2 φορές μικρότερο από ότι είναι στο πρωτότυπο. Αντίστροφα κλίμακα 2:1 ή 2/1 σημαίνει πως το σχέδιο μας είναι 2 φορές μεγαλύτερο από ότι είναι στην πραγματικότητα(πρωτότυπο)

Παράδειγμα: Δύο πόλεις που σε χάρτη με κλίμακα 1:1.000.000 απέχουν 10 εκ. η μία από την άλλη(σε ευθεία γραμμή), στην πραγματικότητα απέχουν 1.000.000 φορές περισσότερο, γιατί 1 εκ στο χάρτη αντιστοιχεί με 1.000.000 εκ στην πραγματικότητα. Άρα τα 10 εκ της απόστασης των δύο πόλεων στο χάρτη αντιστοιχεί με 10 εκ Χ 1.000.000 εκ = 10.000.000 εκ ή 100.000 μ. ή 100 χμ στην πραγματικότητα(πάντα σε ευθεία γραμμή)

Δες από εδώ τι είχαμε πει για την κλίμακα του χάρτη στη Γεωγραφία ΚΛΙΚ

Άρα με δυο τύπους μπορούμε να βρούμε τις διαστάσεις ενός σχεδίου ή της πραγματικής απόστασης:

Διάσταση σχεδίου = (πραγματική απόσταση) Χ (κλίμακα)

Πραγματική διάσταση = (διάσταση σχεδίου) : (κλίμακα)

Δες πώς αλλάζει η κλίμακα όταν αλλάζεις το μεγάλο ορθογώνιο( με σύρσιμο της κόκκινης τελείας μεγαλώνει ή μικραίνει το ορθογώνιο) ΚΛΙΚ

Δες πώς φαίνεται ένας χάρτης της Ινδίας με σμίκρυνση και πώς με μεγέθυνση:

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Όταν ένα σχήμα μπορεί να χωριστεί με μια ευθεία γραμμή σε δυο τμήματα, έτσι ώστε το ένα τμήμα να είναι αντανάκλαση του άλλου, τότε το σχήμα αυτό είναι συμμετρικό ως προς άξονα συμμετρίας. ΚΛΙΚ

Η ευθεία γραμμή που χωρίζει το σχήμα αυτό σε δύο ίσα τμήματα ονομάζεται άξονας συμμετρίας

Ένα σχήμα μπορεί να έχει έναν ή και περισσότερους άξονες συμμετρίας. Π. χ.

Κάποια συμμετρικά σχήματα έχουν άξονα συμμετρίας που τα τέμνει,

ενώ άλλα είναι συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας που βρίσκεται έξω από αυτά

Μπορούμε να λύσουμε ένα πρόβλημα με γεωμετρικά σχήματα αν αναλύσουμε ένα σχήμα σε άλλα πιο απλά

Δες πώς γίνεται η κατασκευή του συμμετρικού σημείου του Α ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ε. ΚΛΙΚ

Προσπάθησε να φτιάξεις τα ανάλογα συμμετρικά σχήματα ΚΛΙΚ

Ερεύνησε τη συμμετρία. ΚΛΙΚ

ΓΩΝΙΕΣ-ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ

Κάνε εξάσκηση μετρώντας διαδραστικά τις γωνίες διαφόρων σχημάτων ΚΛΙΚ

Άλλαζε συνέχεια γωνίες και γράψε στο λευκό ορθογώνιο πόσες μοίρες είναι ΚΛΙΚ

ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ

Σημάδεψε σωστά με την κατάλληλη γωνία και μάζεψε φρούτα ΚΛΙΚ

Βάλε τη σωστή γωνία και χτύπα τους εξωγήινους(έχεις 3 προσπάθειες για κάθε ιπτάμενο δίσκο) ΚΛΙΚ

ΘΕΜΑ ΓΩΝΙΩΝ

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε (1, 2, 3, 4, κτλ.) είναι γνωστοί ως αραβικοί αριθμοί για να ξεχωρίζουν από τους λατινικούς (I, II, III, IV, V, VI, κτλ). Στην πραγματικότητα οι Άραβες έκαναν γνωστούς αυτούς τους αριθμούς αλλά αρχικά χρησιμοποιήθηκαν από τους Έλληνες για να μετρούν και να κάνουν λογαριασμούς στις εμπορικές τους συναλλαγές.

Έχετε ποτέ σκεφτεί γιατί .......... 1 σημαίνει ένα και 2 σημαίνει δύο;

Στους λατινικούς αριθμούς είναι εύκολο να το καταλάβεις αλλά ποια ήταν η λογική πίσω από τους ελληνικούς αριθμούς;

Δείτε ποιο ηταν το σκεπτικό:

Είναι θέμα γωνιών !

Είναι ο αριθμός των γωνιών. Αν κάποιος γράψει το γράμμα (βλέπε παραπάνω) στην παλιά τους μορφή, θα καταλάβει αμέσως γιατί.

Έχω σημειώσει τις γωνίες με 'o'.

No 1 έχει μία γωνία.

No 2 έχει δύο γωνίες.

No 3 έχει τρεις γωνίες. κτλ.

και το'O' δεν έχει γωνίες !!

ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ, ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο:

• όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν τις προεκτείνουμε, ονομάζονται παράλληλες ευθείες

• όταν έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες ευθείες(πλάγια)
  
  
• Αν οι δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν μια γωνία ορθή τότε όλες οι γωνίες του είναι ορθές και οι ευθείες ονομάζονται κάθετες.

Από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε με το γνώμονα μία μόνο ευθεία κάθετη σε άλλη ευθεία

ΚΛΙΚ

Σε ένα τρίγωνο, το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με την απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος τριγώνου. Για να κατασκευάσουμε ύψος σε ένα τρίγωνο, φέρνουμε κάθετο από την κορυφή Γ στην πλευρά ΑΒ(πρόσεξε:η βάση του γνώμονα να "πατάει" πάνω στην πλευρά ΑΒ)

Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη

Τα τρία ύψη κάθε τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο(περνάνε από το ίδιο σημείο)

ΚΛΙΚ (δοκίμασε και για ορθογώνιο και για αμβλυγώνιο τρίγωνο)

ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ

Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο(ΑΒΓ), εκτός από τις πλευρές που είναι άνισες, είναι και οι τρεις γωνίες του επίσης άνισες(απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται και η μεγαλύτερη γωνία)
Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο(ΔΕΖ), εκτός από τις δυο πλευρές που είναι ίσες, είναι και οι δυο προσκείμενες γωνίες σε αυτές επίσης ίσες(απέναντι από ίσες πλευρές υπάρχουν ίσες γωνίες)
Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο(ΗΘΙ), εκτός από όλες τις πλευρές που είναι ίσες, είναι και οι τρεις γωνίες του επίσης ίσες(από 60 μοίρες η καθεμία)

Κάνε εξάσκηση

ΚΛΙΚ

ΚΛΙΚ

ΚΛΙΚ

ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ

Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του μπορεί να είναι:

Οξυγώνιο, αν έχει και τις τρεις γωνίες του οξείες




Αμβλυγώνιο, αν έχει μια αμβλεία γωνία(και δυο οξείες)





Ορθογώνιο, αν έχει μία ορθή γωνία(και δυο οξείες)




Κάνε εξάσκηση ΚΛΙΚ



Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 μοίρες(δες και στα τρία παραπάνω τρίγωνα και θα το διαπιστώσεις)

ΚΛΙΚ( πάτησε start και όποτε θέλεις stop και θα δεις το σύνολο των γωνιών ότι είναι πάντα 180 μοίρες)

Κάνε εξάσκηση ΚΛΙΚ

Το άθροισμα το διαπιστώνουμε εύκολα αν κόψουμε τις γωνίες του και τις τοποθετήσουμε τη μία δίπλα στην άλλη(με τις κορυφές τους)

ΚΛΙΚ(κάτω κάτω πάτησε το go και συνέχεια next)

ΑΣΚΗΣΗ

Βρες χωρίς να χρησιμοποιήσεις μοιρογνωμόνιο, πόσες μοίρες είναι οι γωνίες με το ερωτηματικό σε κάθε ορθογώνιο(κλικ στην εικόνα για να μεγαλώσει)

ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ

Γωνία λέγεται το μέρος του επιπέδου που περιορίζεται από δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή. Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της γωνίας και οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ λέγονται πλευρές της γωνίας.
H γωνία ονοματίζεται με τρία κεφαλαία γράμματα, όπου το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση(ΑΟΒ ή ΒΟΑ), βάζοντας από πάνω του το σύμβολο της γωνίας(^), ή μόνο με το γράμμα της κορυφής(Ο) με από πάνω το σύμβολο της γωνίας, ή με ένα μικρό γράμμα(α) και πάντα το σύμβολο της γωνίας από πάνω του.

Τα είδη των γωνιών είναι η ορθή, η οξεία και η αμβλεία

Για να διαπιστώσουμε τι είδους γωνία είναι χρησιμοποιούμε το γνώμονα ή το μοιρογνωμόνιο

Η ορθή γωνία είναι 90 μοίρες, η οξεία γωνία είναι μικρότερη της ορθής και η αμβλεία μεγαλύτερη της ορθής

Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η γωνία μιας μοίρας, δηλαδή η μία από τις 90 ίσες γωνίες στις οποίες χωρίζεται η ορθή γωνία:

1 ορθή=90 μοίρες και 1 μοίρα = 1/90 της ορθής

Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το άνοιγμα των πλευρών της και όχι από το μήκος των πλευρών της Π.χ. στο παρακάτω σχήμα η γωνία ΓΟΔ είναι μεγαλύτερη από την ΑΟΒ, γιατί έχει μεγαλύτερο άνοιγμα.

Για να μετρήσεις μία γωνία χρησιμοποίησε το μοιρογνωμόνιο κάνοντας τα παρακάτω:

• Βάλε το σημάδι που έχει το μοιρογνωμόνιο στο κέντρο του, πάνω στην κορυφή της γωνίας.
• Βάλε την ένδειξη 0 μοίρες στη μία πλευρά της γωνίας(ίσως να χρειαστεί να προεκτείνεις τις πλευρές της γωνίας)
• Διάβασε την ένδειξη στην άλλη πλευρά της γωνίας.

Διαδραστική μέτρηση γωνιών ΚΛΙΚ

Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε γωνίες στο μέγεθος που εμείς θέλουμε χρησιμοποιώντας το χάρακα και το μοιρογνωμόνιο:

• Με το χάρακα χάραξε μια ημιευθεία Αχ
• Βάλε το μοιρογνωμόνιο έτσι ώστε το κέντρο του να είναι στο Α και η Αχ να περνάει από το 0(μοίρες). Σημείωσε ένα σημείο όπου θέλεις π.χ. στο 70 (μοίρες)
• Με το χάρακα τώρα χάραξε την ημιευθεία ΑΒ. Η γωνία που σχηματίστηκε θα είναι 70 μοίρες
  

Δες πώς σχηματίζουμε γωνίες ΚΛΙΚ. Κάνε και συ το ίδιο και φτιάξε μια οξεία γωνία

ΠΑΙΞΕ ΜΕ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ: Προσπάθησε να βάλεις σωστά τη γωνία ώστε να ποτίσεις το κάθε αντικείμενο ΚΛΙΚ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Είναι δυνατόν να συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα, αν τα μετατρέψουμε πρώτα στα ισοδύναμά τους ομώνυμα με κοινό παρονομαστή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών τους, ή οποιοδήποτε άλλο κοινό πολλαπλάσιο.

Για τη διαδικασία αυτή κάνουμε τα παρακάτω:

• βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών τους
• το διαιρούμε με τους παρονομαστές και
• πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος(αριθμητή και παρονομαστή)με το αντίστοιχο πηλίκο

Παράδειγμα

Έχουμε τα κλάσματα 1/2 και 2/3(το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 6. Και επειδή 6:2=3 και 6:3=2)έχουμε:

1/2 , 2/3 = 1.3/2.3, 2.2/3.2 = 3/6 , 4/6 και άρα 1/2 <2/3

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα απλά προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές και παρονομαστές αφήνουμε τους ίδιους

Όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα κάνουμε πάλι την ίδια διαδικασία αφού όμως πρώτα τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα όπως αναφέραμε παραπάνω

Όταν τα κλάσματα είναι μεικτοί αριθμοί :

ή μετατρέπουμε τους μεικτούς σε κλάσματα και κάνουμε την ανάλογη πράξη(π. χ. 1 3/4 + 1 2/5 = 7/4 + 7/5 = 7.5/4.5 + 7.4/5.4 = 35/20 + 28/20 = 63/20 = 3 3/20)

(Ξαναθυμίσου πώς μετατρέπουμε μεικτό σε κλάσμα:)

ή προσθέτουμε ή αφαιρούμε χωριστά τους ακέραιους και χωριστά τα κλάσματα( π. χ. 1 3/4 + 1 2/5 =1+1=2, 3.5/4.5 + 2.4/5.4 = 15/20 + 8/20 = 23/20 = 3 3/20)

Προσπάθησε να κάνεις τις αφαιρέσεις των ετερώνυμων κλασμάτων(να κάνεις και απλοποίηση αν χρειάζεται) ΚΛΙΚ

Κάνε και από εδώ προσθέσεις και αφαιρέσεις ΚΛΙΚ

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ, Ε.Κ.Π.-ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1. Βρες 3 αριθμούς που έχουν:

• Ε.Κ.Π. τον αριθμό 20
• Ε.Κ.Π. μικρότερο από τον αριθμό 20

2. Βρες το λάθος(με το νου) και διόρθωσε το:

• Κ.Π.(4,5,20)=20,40,50,80,100
• Κ.Π.(5,50,500)=500,5000
• Ε.Κ.Π.(30,40,120)=240
• Ε.Κ.Π.(20,100,200)=1000

3. Η Ε΄τάξη ενός σχολείου έχει τόσους μαθητές, που αν ο δάσκαλος τούς παρατάξει ανά 4 ή 6 ή 8, δεν περισσεύει κανείς. Πόσους, το λιγότερο, μαθητές έχει αυτή η τάξη;

Από εδώ μπορείς να ξαναθυμηθείς για τα Κοινά πολλαπλάσια και το Ε.Κ.Π ΚΛΙΚ

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ, Ε.Κ.Π.

Κοινό πολλαπλάσιο(Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται κάθε ακέραιος, πλην του μηδενός, που είναι πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών.

Δες στον παρακάτω πίνακα κάποια από τα πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3, και 6

Όπως βλέπεις υπάρχουν κοινά πολλαπλάσια και στους 3 αριθμούς(6, 12, 18, 24). Και θα ήταν και άλλα αν συνεχίζαμε τα πολλαπλάσια, αφού είναι άπειρα.

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια και των τριών αριθμών λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο(Ε.Κ.Π.) και στον παραπάνω πίνακα είναι βέβαια το 6. Έτσι γράφουμε: Ε.Κ.Π.(2,3,6)=6

Ας εξετάσουμε τώρα πώς βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών.

Ο 1ος τρόπος είναι αυτός που είδαμε στον παραπάνω πίνακα, δηλαδή να γράψουμε όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών, στη συνέχεια να ξεχωρίσουμε τα κοινά πολλαπλάσια τους και τέλος το Ε.Κ.Π αυτών.

Ο 2ος τρόπος είναι να εξετάσουμε τον μεγαλύτερο από αυτούς αν είναι το Ε.Κ.Π τους, αν δηλαδή διαιρείται ακριβώς από τους άλλους δύο. Αν αυτό είναι δυνατό, τότε αυτός(μεγαλύτερος) είναι και το Ε.Κ.Π. αυτών.

Αν δεν διαιρείται και από τους δύο, τότε τον διπλασιάζουμε, τον τριπλασιάζουμε κ.ο.κ έως ότου βρούμε κάποιο πολλαπλάσιό του που θα διαιρείται από τους άλλους δύο και αυτός τότε θα είναι το Ε.Κ.Π. αυτών.

Παράδειγμα

Ε.Κ.Π(4,6,8)=24. Επειδή ο μεγαλύτερος από αυτούς ο 8 δε διαιρείται από τους άλλους δύο, τον διπλασιάζουμε(16) και επειδή πάλι δε διαιρείται από αυτούς, τον τριπλασιάζουμε(24)και βλέπουμε ότι αυτός διαιρείται και από το 4(24:4=6) και από το 6(24:6=4)

Άρα το Ε.Κ.Π.(4,6,8)=24

Βρες το Ε.Κ.Π.των αριθμών 6, 8, 10 και 12

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ

ΠΑΙΧΝΙΔΙ

Βρες πολλαπλάσια και διαιρέτες

ΚΛΙΚ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 2, ΤΟΥ 5 ΚΑΙ ΤΟΥ 10

Για να διακρίνουμε εύκολα και γρήγορα αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο, χρησιμοποιούμε ορισμένους κανόνες που ονομάζουμε κριτήρια διαιρετότητας.

• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 2, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8(δηλαδή ζυγός αριθμός)
• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 5 ή 0
• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 10, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0

Καλό θα είναι να μάθεις τα κριτήρια διαιρετότητας για όλους τους αριθμούς. Και συγκεκριμένα:

• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 3, όταν το άθροισμά των ψηφίων του είναι 3 ή 6 ή 9

Παράδειγμα: ο αριθμός 174 διαιρείται με το 3 γιατί 1+7+4=12(2+1=3), ο 969 το ίδιο γιατί 9+6+9=24(2+4=6) κλπ.

• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 4, όταν τα δυο τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 4

Π. χ. Ο 324 διαιρείται με το 4, γιατί και το 24(δύο τελευταία)είναι διαιρετό από το 4

• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 6 αν είναι ταυτόχρονα διαιρετός και με το 2 και με το 3

Π. χ. Ο 678 είναι διαιρετός από το 6 γιατί διαιρείται και με το 2(ζυγός) και με το 3(6+7+8=21=2+1=3)

• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 8, όταν οι 3 τελευταίοι αριθμοί σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

Π. χ. Ο 7.368 διαιρείται ακριβώς με το 8 γιατί και ο 368 διαιρείται με το 8

• Ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 9, όταν το άθροισμα των ψηφίων του δίνει 9.

Π. χ. Ο 351 διαιρείται ακριβώς με το 9 γιατί 3+5+1=9. Το ίδιο και ο 459 γιατί 4+5+9=18(8+1=9)

ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΚΛΙΚ

ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ

Βάλε έναν αριθμό από το 2 ως το 999 και πατώντας enter δες όλα τα πολλαπλάσια του

ΚΛΙΚ

ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ

Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς. Π. χ. οι διαιρέτες του 10, 18 και 24 είναι αντίστοιχα:

Δ10: 1, 2, 5, 10

Δ18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Δ24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Πολλαπλάσιο ενός αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσω με έναν άλλο αριθμό. Π. χ. Τα πολλαπλάσια του 2 και του 3 είναι:

Π2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...

Π3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

• Τα πολλαπλάσια είναι άπειρα
• Κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών λέγεται το πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών πλην του μηδενός(0)
• Τα κοινά πολλαπλάσια δημιουργούνται με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του μικρότερου κοινού πολλαπλάσιου. Π. χ. 6, 12, 18, 24 ...

Δες τα πολλαπλάσια των αριθμών ως το 100, τη διάταξη τους στο τετράγωνο και προσπάθησε και συ να τα βρεις για κάθε αριθμό ΚΛΙΚ

ΠΑΙΧΝΙΔΙ (1)

Βρες διαιρέτες και πολλαπλάσια και σκότωσε τα φαντάσματα ΚΛΙΚ

ΠΑΙΧΝΙΔΙ (2)

Παίξε με συμμαθητή σου ή με τον υπολογιστή και προσπάθησε να νικήσεις.(παίρνεις τους βαθμούς του αριθμού που διαλέγεις και ο αντίπαλος σου τους διαιρέτες του) ΚΛΙΚ

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ

Για να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα :

• αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα
• κάνουμε αντί για διαίρεση, πολλαπλασιασμό
• απλοποιούμε το κλάσμα(αν αυτό απλοποιείται)

Π.χ. 25/6 : 15/7 = 25/6 Χ 7/15 = 175/90 = 175:5/90:5 = 35/18=1 17/18

Δες το κι εδώ ΚΛΙΚ

Ομοίως και όταν έχουμε να διαιρέσουμε ακέραιο με κλάσμα ή κλάσμα με ακέραιο, κάνουμε ακριβώς το ίδιο, αφού κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα όπως και κάθε μεικτός επίσης.

'Αρα όλες οι περιπτώσεις διαίρεσης κλασμάτων μπορούν να αναχθούν στη μορφή κλάσμα διά κλάσμα.

Διαίρεση κάνουμε:

• Όταν ξέρουμε την αξία πολλών ακέραιων μονάδων και ζητάμε τη μια(μερισμού)

Π. χ. : Το 1 1/2 κιλό μέλι κοστίζει 10 Ευρώ Πόσο κοστίζει το 1 κιλό;

• Όταν ξέρουμε την αξία πολλών ακέραιων μονάδων, την τιμή της μιας ακέραιας μονάδας και ζητάμε το πλήθος των μονάδων(μέτρησης)

Π. χ. Με 1 1/2 κιλό μέλι πόσα μπολάκια του 1/4 μπορούμε να γεμίσουμε;

• Όταν ξέρουμε την τιμή ενός μέρους ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε την τιμή όλης της ακέραιας μονάδας

Π. χ. Τα 3/4 του σκοινιού είναι 75 μέτρα. Πόσο είναι όλο το σκοινί;

ΠΑΙΧΝΙΔΙ (1)

Βάλτε γκολ ή αποκρούστε το σουτ απαντώντας σωστά στη διαίρεση κλασμάτων(χρειάζεται και απλοποίηση, αν γίνεται)

ΚΛΙΚ

ΠΑΙΧΝΙΔΙ(2)

Κάνε σωστά τις διαιρέσεις και παίξε το παιχνίδι με τα μπαλόνια

ΚΛΙΚ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Τα 3/5 του σχολείου μας είναι 81 μαθητές. Πόσους μαθητές έχει το σχολείο μας;

........................................................

2. Η γιαγιά της Ηλιάνας έφτιαξε 3 κιλά γλυκό κεράσι για το δάσκαλό της. Το συσκεύασε σε βαζάκια που χωράνε 3/4 του κιλού. Πόσα βαζάκια γέμισε;

..........................................................